Comment créer une intégrale nulle à partir de n’importe quelle fonction

Pour tout $k\in\mathbb{R}^*_+$ et toute fonction $f$ continue sur $R_+^*$ , on a :

(1) $\begin{equation*}\int_{\frac{1}{k}}^{k} f\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{\ln(x)}{x}\,dx = 0}\end{equation*}$

Idée de preuve : distinguer l’intégrale de $1$ à $k$ et l’intégrale de $1/k$ à $1$ . On peut alors montrer que cette dernière est l’opposé de la première via le changement de variable $y = 1/x$ (ou bien on peut montrer que cette intégrale est son propre opposé via le même changement de variable).

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