Mois : septembre 2021

Comment créer une intégrale nulle à partir de n’importe quelle fonction

Pour tout k\in\mathbb{R}^*_+ et toute fonction f continue sur R_+^*, on a :

(1)   \begin{equation*}\int_{\frac{1}{k}}^{k} f\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{\ln(x)}{x}\,dx = 0}\end{equation*}

Idée de preuve : distinguer l’intégrale de 1 à k et l’intégrale de 1/k à 1. On peut alors montrer que cette dernière est l’opposé de la première via le changement de variable y = 1/x (ou bien on peut montrer que cette intégrale est son propre opposé via le même changement de variable).