Comment créer une intégrale nulle à partir de n’importe quelle fonction

Pour tout k\in\mathbb{R}^*_+ et toute fonction f continue sur R_+^*, on a :

(1)   \begin{equation*}\int_{\frac{1}{k}}^{k} f\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{\ln(x)}{x}\,dx = 0}\end{equation*}

Idée de preuve : distinguer l’intégrale de 1 à k et l’intégrale de 1/k à 1. On peut alors montrer que cette dernière est l’opposé de la première via le changement de variable y = 1/x (ou bien on peut montrer que cette intégrale est son propre opposé via le même changement de variable).

Courbes du coronavirus : MAJ avec les données du 25/04/2021

Au niveau national les nombres de cas et de nouvelles hospitalisations sont en baisse (à un rythme plus lent que lors du précédent confinement, ce qui pourrait s’expliquer par le fait que le variant B.1.1.7, dit « anglais », soit prédominant). Les nouvelles réanimations sont stables et les nouveaux décès en hausse par rapport à la semaine dernière.

Quand à la situation dans le Puy-de-Dôme, elle semble stable, avec toutefois un niveau de nouvelles réanimations se trouvant dans la fourchette haute de ces derniers mois.

Courbes journalières pour la France :

Courbes hebdomadaires pour la France :

Courbes hebdomadaires pour le Puy-de-Dôme :

Courbes du coronavirus : MAJ avec les données du 11/04/2021

Les effets du confinement des premiers départements semblent se manifester. Au niveau national, tous les indicateurs s’orientent à la baisse. Au niveau du Puy-de-Dôme, seuls les décès continuent à la hausse.

Courbes journalières pour la France :

Courbes hebdomadaires pour la France :

Courbes hebdomadaires pour le Puy-de-Dôme :

Courbes du coronavirus : MAJ avec les données du 11/04/2021

L’ensemble des indicateurs se stabilisent (et le nombre de cas commence à baisser) au niveau national. Probablement un effet des premiers confinements locaux du 19 mars 2021.
Les remontées des cas semblent, pour la troisième semaine consécutive, toujours chaotiques.
Dans le Puy-de-Dôme, les décès restent stables, mais les hospitalisations et les réanimations enregistrent une forte hausse hebdomadaire. Cette hausse hebdomadaire est une première depuis le début de l’épidémie pour les réanimations.

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Courbes hebdomadaires pour le Puy-de-Dôme :

Courbes du coronavirus : MAJ avec les données du 04/04/2021

La remontée des cas a été assez chaotique cette semaine. Les décès enregistrent une hausse importante cette semaine pour la première fois depuis 10 semaines. Les réanimations poursuivent leur hausse de plus en plus importante, tandis que les que la hausse des nouveaux cas et des hospitalisations s’est fait moins importante cette semaine que la semaine dernière.


La situation dans le Puy-de-Dôme reste globalement stable.

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Courbes hebdomadaires pour le Puy-de-Dôme :

Courbes du coronavirus : MAJ avec les données du 28/03/2021

Le nombre d’entrées en réanimations ainsi que le nombre de nouveaux cas poursuivent leur forte hausse, atteignant des niveaux proches du pic de début novembre 2020. Les hospitalisations augmentent également, mais demeurent plus éloignées du pic. Faut-il y voir un effet du variant VOC-202012/01, qui engendrerait plus de cas graves ?

Les décès semblent maintenant découplés des autres indicateurs et se maintiennent sur un plateau. Peut-être faut-il y voir un effet de la vaccination, les décès en EHPAD étant retombés à la suite de celle-ci. Le jeunissement de la population en réanimation semble plaider également en ce sens.

Dans le Puy-de-Dôme, la tendance des réanimations semble à la hausse, tandis que les hospitalisations et les décès restent stables.

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Courbes hebdomadaires pour la France :

Courbes hebdomadaires pour le Puy-de-Dôme :

Courbes du coronavirus : MAJ avec les données du 14/03/2021

Dans le Puy-de-Dôme les chiffres semblent stagner. Mais à l’échelle de la France seuls les décès baissent tandis que les réanimations sont en forte hausse.

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Courbes hebdomadaires pour la France :

Courbes hebdomadaires pour le Puy-de-Dôme :

Courbes du coronavirus : MAJ avec les données du 07/02/2021

L’ensemble des indicateurs affiche une légère baisse depuis la semaine dernière. Reste à voir comment cela va évoluer avec la propagation des variants.

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Courbes hebdomadaires pour la France :

Courbes hebdomadaires pour le Puy-de-Dôme :

Courbes du coronavirus : MAJ avec les données du 24/01/2021

A l’échelle de la France, les hospitalisations, les réanimations et les décès (qui arrivent au niveau des semaines 43 voire 44) augmentent de façon bien plus importante que le nombre de cas (qui est au niveau des semaines 41-42).
Pour une raison ou pour une autre, le nombre de nouveaux cas ne semble plus jouer le rôle de précurseur qu’il a joué jusque là.

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Courbes hebdomadaires pour le Puy-de-Dôme :